Investigación de Operaciones

La Investigación de Operaciones (IO) es una disciplina que aplica métodos científicos, matemáticos y analíticos para apoyar la toma de decisiones y resolver problemas complejos en diferentes áreas. Su objetivo principal es optimizar procesos, recursos y resultados dentro de organizaciones públicas y privadas. Gracias a la IO, es posible mejorar la eficiencia en sectores como la logística, el transporte, la producción, la gestión de inventarios, la asignación de recursos humanos y hasta en la planeación de proyectos. En pocas palabras, la IO ayuda a transformar problemas reales en modelos matemáticos que permiten encontrar soluciones óptimas y prácticas.

Programación Lineal

La programación lineal es una de las herramientas más utilizadas dentro de la investigación de operaciones. Se basa en la formulación de modelos matemáticos en los que se busca maximizar o minimizar una función objetivo, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Esta técnica es ampliamente aplicada en áreas como la administración de empresas, economía, ingeniería industrial, logística, telecomunicaciones y planeación de proyectos, ya que permite asignar recursos limitados de la mejor manera posible. Por ejemplo, puede ayudar a una empresa a decidir cuántos productos fabricar, a una aerolínea a planificar sus rutas, o a un hospital a organizar su personal y equipos médicos.

Solución de un problema - Método Simplex 

1. Abstracción y Formulación del Problema

Se parte de un problema real en el cual existen recursos limitados y un objetivo claro.

Ejemplo: Una empresa fabrica mesas y sillas. Cada mesa genera una utilidad de 50 unidades monetarias y cada silla de 80 unidades. Cada mesa requiere 2 horas de corte y 1 hora de ensamble. Cada silla requiere 1 hora de corte y 1 hora de ensamble. El taller solo dispone de 120 horas de corte y 90 horas de ensamble. 

El objetivo es maximizar la utilidad de la empresa. Para ello, necesitamos determinar la cantidad óptima de mesas y sillas a producir, considerando los recursos limitados.

• Variables de Decisión:

  • x1​: número de mesas a fabricar.

  • x2​: número de sillas a fabricar.

• Función Objetivo (Maximizar la Utilidad):

  • $Z=50x_1+80x_2$

• Restricciones:

  • Corte: $2x_1+x_2\le 120$ (horas de corte disponibles)

  • Ensamble: $x_1+x_2\le 90$ (horas de ensamble disponibles)

  • No Negatividad: $x_1,x_2\ge 0$ (no se pueden producir cantidades negativas)

2. Conversión a la Forma Estándar

Para aplicar el método simplex, las inecuaciones deben convertirse en ecuaciones. Esto se logra agregando variables de holgura (s1​ y s2​), que representan los recursos no utilizados.

• $2x_1+x_2+s_1=120$

• $x_1+x_2+s_2=90$

La función objetivo también se reorganiza para que todos los términos estén del mismo lado:

• $Z-50x_1-80x_2=0$

3. Construcción de la Tabla Inicial (Tablero Simplex)

La información se organiza en una tabla donde cada columna representa una variable y cada fila una ecuación (incluyendo la función objetivo).

4. Iteraciones del Método Simplex

El objetivo es transformar la tabla hasta que todos los valores en la fila Z sean no negativos. Esto se logra mediante una serie de pasos repetitivos.

Iteración 1: Búsqueda de la Solución Óptima

1. Seleccionar la Columna Pivote:

   • En la fila Z, se elige el coeficiente más negativo. En este caso, es -80, correspondiente a la columna de x2​. Esto significa que producir más sillas aumentará más rápidamente la utilidad. Por lo tanto, x2​ es la variable de entrada.

2. Seleccionar la Fila Pivote:

   • Se calcula el cociente entre el RHS y los valores de la columna pivote (solo para valores positivos). El cociente más pequeño determina la variable que saldrá de la base.

   • Para la fila s1​: $120/1=120$

   • Para la fila s2​: $90/1=90$

   • El menor cociente es 90, lo que indica que la fila s2​ es la fila pivote y s2​ es la variable de salida.

3. Identificar el Elemento Pivote:

   • El elemento en la intersección de la fila y la columna pivote es el 1.

4. Actualizar la Tabla:

   • La fila pivote se divide por el elemento pivote (en este caso, no cambia ya que el elemento es 1).

   • Se realizan operaciones de fila para hacer que los demás elementos de la columna pivote sean cero.

     • Nueva Fila s1​: Fila s1​ - (1 × Fila s2​)

     • Nueva Fila Z: Fila Z + (80 × Fila s2​)

   Nueva Tabla después de la Iteración 1:

Iteración 2: Búsqueda de la Solución Óptima

1. Seleccionar la Columna Pivote:

   • Revisamos la fila Z. El coeficiente más negativo es -30, que corresponde a la columna de x1​.

2. Seleccionar la Fila Pivote:

   • Calculamos los cocientes:

     • Para la fila s1​: $30/1=30$

     • Para la fila x2​: $90/1=90$

   • El menor cociente es 30. La fila s1​ es la fila pivote y s1​ es la variable de salida.

3. Identificar el Elemento Pivote:

   • El elemento pivote es 1.

4. Actualizar la Tabla:

   • La fila pivote se divide por el elemento pivote (no cambia).

   • Se realizan operaciones de fila para hacer ceros en la columna de x1​.

     • Nueva Fila x2​: Fila x2​ - (1 × Fila s1​)

     • Nueva Fila Z: Fila Z + (30 × Fila s1​)

   Nueva Tabla después de la Iteración 2:

5. Resultados y Conclusión

La tabla final no tiene valores negativos en la fila Z, lo que significa que hemos alcanzado la solución óptima.

• Valores de las Variables:

  • $x_1=30$ (valor en la fila de x1​)

  • $x_2=60$ (valor en la fila de x2​)

  • $s_1=0$ y $s_2=0$ (variables no básicas, lo que significa que se han utilizado todas las horas de corte y ensamble)

• Utilidad Máxima:

  • El valor en la fila Z y la columna RHS es 6300.

  • Puedes verificarlo con la función objetivo original: $Z=50(30)+80(60)=1500+4800=6300$.

La empresa debe producir 30 mesas y 60 sillas para obtener una utilidad máxima de 6300 unidades monetarias, utilizando completamente sus horas de corte y ensamble disponibles.